“La Natura è un libro scritto in caratteri matematici.” Galileo Galilei
Aritmetica

Numeri con cifre consecutive e numeri repunit.

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Un numero naturale n viene generalmente rappresentato in una base numerica q associando una “sequenza finita di numeri naturali” nknk−1nk−2....n2n1n0n_k n_{k-1} n_{k-2} .... n_2 n_1 n_0 , ciascuno scelto tra 0 e q-1, in modo tale che valga l’uguaglianza n=nkqk+nk−1qk−1+nk−2qk−2+....+n2q2+n1q1+n0n={n_kq^k}+n_{k-1} q^{k-1}+n_{k-2} q^{k-2}+....+n_2 q^2+n_1 q^1+n_0
In questa trattazione ci interesseranno i numeri naturali in cui la “sequenza finita di numeri naturali” è formata da numeri naturali consecutivi 1234..(n−2)(n−1)n1234..(n-2)(n-1)n .
Chiameremo questi numeri con il termine generico SnS_n e la rispettiva somma della serie numerica con base q assumerà la forma:

∑k=1nkqn−k\textcolor{black}{\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}}      1.1

riscriviamo la serie in forma estesa:

Sn=1qn−1+2qn−2+3qn−3+....\textcolor{black}{S_n=1 q^{n-1}+2q^{n-2}+3q^{n-3}+ ....}
....+(n−2)q2+(n−1)q1+n\textcolor{black}{....+(n-2)q^2+(n-1)q^1+n}        1.2

moltiplichiamo la 1.2 membro a membro per il fattore q

Snq=1qn+2qn−1+3qn−2+....\textcolor{black}{S_nq=1q^n+2q^{n-1}+3q^{n-2}+....}
....+(n−2)q3+(n−1)q2+nq\textcolor{black}{....+(n-2)q^3+(n-1)q^2+nq}        1.3

sottraiamo membro a membro alla 1.3 la 1.2 e raccogliamo a fattore comune al secondo membro i monomi simili

Snq−Sn=1qn+(2−1)qn−1+(3−2)qn−2+....\textcolor{black}{S_nq-S_n=1q^n+(2-1)q^{n-1}+(3-2)q^{n-2}+....}
....+(n−2−n+3)q3+(n−1−n+2)q2+(n−n+1)q−n\textcolor{black}{....+(n-2-n+3)q^3+(n-1-n+2)q^2+(n-n+1)q-n}

possiamo notare che i termini all’interno delle parentesi rotonde al secondo membro valgono tutti 1, otteniamo quindi:

Snq−Sn=∑k=1nqn−k+1−n\textcolor{black}{S_n q-S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k+1}-n}

ovvero:

Snq−Sn=q∑k=1nqn−k−n\textcolor{black}{S_n q-S_n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-n}        1.4

spostiamo il termine “n” al primo membro

Snq−Sn+n=q∑k=1nqn−k\textcolor{black}{S_n q-S_n+n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}}        1.5

addizioniamo l’unità alla 1.5 membro a membro

Snq−Sn+(n+1)=q∑k=1nqn−k+1\textcolor{black}{\displaystyle{S_n q-S_n+(n+1)=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}}+1}        1.6

Raccogliamo a fattor comune SnS_n, sostituiamo SnS_n con la 1.1 e riscrivimo in forma compatta la serie al secondo membro

(q−1)∑k=1nkqn−k+(n+1)=∑k=0nqk\textcolor{black}{\displaystyle{(q-1) \sum_{k=1}^n kq^{n-k}+(n+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^n q^{k}}}         1.7

Se poniamo come base numerica q=10 e per “n” i rispettivi 9 valori: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 nella 1.7, otteniamo le relazioni numeriche seguenti:

9∑k=1nk10n−k+(n+1)=∑k=0n10k\textcolor{black}{\displaystyle{9 \sum_{k=1}^n k10^{n-k}+(n+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{k}}}

Per un altro esempio prendiamo la base numerica q=16 e per “n” i rispettivi 15 valori: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F dove per i numeri naturali >9 si sono presi come simboli le prime lettere dell’alfabeto, come si conviene per la base esadecimale. Dalla 1.7 otteniamo:

15∑k=1nk16n−k+(n+1)=∑k=0n16k\textcolor{black}{\displaystyle{15 \sum_{k=1}^n k16^{n-k}+(n+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^n 16^{k}}}

ossia in esadecimale:

F∑k=1nk10n−k+(n+1)=∑k=0n10k\textcolor{black}{\displaystyle{F \sum_{k=1}^n k10^{n-k}+(n+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{k}}}

Albignasego, 08/06/2018

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