Un numero naturale n viene generalmente rappresentato in una base numerica q associando una “sequenza finita di numeri naturali” n_k n_{k-1} n_{k-2} .... n_2 n_1 n_0 , ciascuno scelto tra 0 e q-1, in modo tale che valga l’uguaglianza n={n_kq^k}+n_{k-1} q^{k-1}+n_{k-2} q^{k-2}+....+n_2 q^2+n_1 q^1+n_0
In questa trattazione ci interesseranno i numeri naturali in cui la “sequenza finita di numeri naturali” è formata da numeri naturali consecutivi 1234..(n-2)(n-1)n .
Chiameremo questi numeri con il termine generico S_n e la rispettiva somma della serie numerica con base q assumerà la forma:
\textcolor{black}{\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}} 1.1
riscriviamo la serie in forma estesa:
\textcolor{black}{S_n=1 q^{n-1}+2q^{n-2}+3q^{n-3}+ ....}
\textcolor{black}{....+(n-2)q^2+(n-1)q^1+n} 1.2
moltiplichiamo la 1.2 membro a membro per il fattore q
\textcolor{black}{S_nq=1q^n+2q^{n-1}+3q^{n-2}+....}
\textcolor{black}{....+(n-2)q^3+(n-1)q^2+nq} 1.3
sottraiamo membro a membro alla 1.3 la 1.2 e raccogliamo a fattore comune al secondo membro i monomi simili
\textcolor{black}{S_nq-S_n=1q^n+(2-1)q^{n-1}+(3-2)q^{n-2}+....}
\textcolor{black}{....+(n-2-n+3)q^3+(n-1-n+2)q^2+(n-n+1)q-n}
possiamo notare che i termini all’interno delle parentesi rotonde al secondo membro valgono tutti 1, otteniamo quindi:
\textcolor{black}{S_n q-S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k+1}-n}ovvero:
\textcolor{black}{S_n q-S_n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-n} 1.4
spostiamo il termine “n” al primo membro
\textcolor{black}{S_n q-S_n+n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}} 1.5
sottraiamo S_n alla 1.5 membro a membro
\textcolor{black}{S_n q-2S_n+n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-S_n}ed esplicitiamola con le sommatorie della 1.1
\textcolor{black}{q\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}-2\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}+n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}}possiamo riscrivere la precedente nel modo compatto:
\textcolor{black}{(q-2)\displaystyle\sum_{k=1}^n kq^{n-k}+n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (q-k)q^{n-k}} 1.6
Se poniamo come base numerica q=10 e per “n” i rispettivi 9 valori: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 nella 1.6, otteniamo le relazioni numeriche seguenti:
\textcolor{black}{8\displaystyle\sum_{k=1}^n k10^{n-k}+n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (10-k)10^{n-k}}
Come altro esempio prendiamo la base numerica q=16 e per “n” i rispettivi 15 valori: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F dove per i numeri naturali >9 si sono presi come simboli le prime lettere dell’alfabeto, come si conviene per la base esadecimale. Dalla 1.6 otteniamo:
\textcolor{black}{14\displaystyle\sum_{k=1}^n k16^{n-k}+n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (16-k)16^{n-k}}ossia in esadecimale:
\textcolor{black}{E\displaystyle\sum_{k=1}^n k10^{n-k}+n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (10-k)10^{n-k}}
Un altro esempio interessante che non possiamo trascurare è la base della numerazione vigesimale degli antichi Maya: q=20 e per “n” i rispettivi valori da 1 a 19. Dalla 1.6 otteniamo:
\textcolor{black}{18\displaystyle\sum_{k=1}^n k20^{n-k}+n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (20-k)20^{n-k}}Usiamo questa volta la simbologia numerica antica:
Albignasego, 01/01/2018
Corollario
Riportiamo la seconda della 1.4: S_n q-S_n=q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-n ;
Consideriamo la somma della progressione geometrica al secondo membro:
\textcolor{black}{\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}=q^{n-1}+q^{n-2}+ . . . .+q^2+q^1+1} 1.7
La somma della progressione geometrica si ricava moltiplicando la 1.7 per q e sottraendo membro a membro la 1.7 stessa, otteniamo:
\textcolor{black}{q\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}-\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}=q^n-1}esplicitando rispetto a \textcolor{black}{\displaystyle\sum_{k=1}^n q^{n-k}} e sostituendo nella 1.4 otteniamo:
\textcolor{black}{S_n {(q-1)}=q{\frac {q^{n-1}} {q-1}}-n} ed in fine
\textcolor{black}{S_n =q{\frac {q^n-1} {{(q-1)}^2}}-{\frac n {(q-1)}}={\frac {{(q^n-1)q-(q-1)n}} {(q-1)^2}}} 1.8
\textcolor{black}{1234....(n-2)(n-1)n =q{\frac {q^n-1} {{(q-1)}^2}}-{\frac n {(q-1)}}={\frac {{(q^n-1)q-(q-1)n}} {(q-1)^2}}}Tornando ai numeri naturali in base q in cui la “sequenza finita di numeri naturali” è formata da numeri naturali consecutivi 1234..(n-2)(n-1)n si ha:
\textcolor{black}{1234....(n-2)(n-1)n =q{\frac {q^n-1} {{(q-1)}^2}}-{\frac n {(q-1)}}={\frac {{(q^n-1)q-(q-1)n}} {(q-1)^2}}} \textcolor{black}{1={\frac {{(10^1-1)10-9 \cdot 1}} {81}}} \textcolor{black}{12={\frac {{(10^2-1)10-9 \cdot 2}} {81}}} \textcolor{black}{123={\frac {{(10^3-1)10-9 \cdot 3}} {81}}} \textcolor{black}{1234={\frac {{(10^4-1)10-9 \cdot 4}} {81}}}……….
\textcolor{black}{123456789={\frac {{(10^9-1)10-9 \cdot 9}} {81}}}In esadecimale per n=15=F
\textcolor{black}{123456789ABCDEF={\frac {{(16^{15}-1)16-15 \cdot 15}} {15^2}}={\frac {{(10^{F}-1)10-F \cdot F}} {F^2}}}Albignasego, 13/01/2018
